Los números de Fibonacci

“Al advertir mi asombro ante tanta belleza encontrada con este trabajo espero estar más consciente para descubrir nuevas relaciones en los objetos matemáticos que están a nuestro alcance“

Un matemático italiano del siglo XIII, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, describió una curiosa sucesión infinita de números naturales:

Siguiendo una fórmula sencilla:

Fn = Fn-1 + Fn-2

El primer número es el 0, luego el 1 y cada elemento restante es la suma de los dos números anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci.

Esta sucesión de cifras ha dado lugar a un sinfin de teorías, debido a que se encuentra presente en la naturaleza de forma estable.  Sirvan como ejemplo los pétalos de las flores, las hojas de las ramas, los panales de las abejas, ¿por qué las piñas tienen 8 diagonales en un sentido y 13 en el otro? ¿Por qué en el girasol se pueden contar 21 espirales en un sentido y 34 en el otro?

A partir de ésta sucesión se obtiene el denominado número áureo ó “divina proporción”. Tiene un valor de (1+ raíz de5)/2, o lo que es lo mismo 1.61803, y se designa con la letra griega Phi. El número áureo fascinó como ideal de belleza a griegos y renacentistas, quienes lo utilizaron en matemática, arte, arquitectura…

La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo.

Cociente	Diferencia en valor absoluto con phi
f 2 / f 1 = 1	0,61803398 …
f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2	0,38196601 …
f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1,5	0,11803398 …
f 5 / f4 = 5 / 3 = 1, 66666666 …	0,04863267 …
f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1,6	0,01803398 …
f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 625	0,00696601 …
f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1,61538461…	0,00264937 …
f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1,61904776 …	0,00101363 …
f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1,61764705 …	0,00038692 …

Este número da origen a la proporción áurea que está presente:

• En ciertas formas de la naturaleza
• En el arte y en el diseño
• En las espirales de los caracoles y en las nervaduras de las hojas
• En las medidas del frente del Partenón de Atenas
• En la Música, por ejemplo en las sonatas de Mozart y en la Quinta Sinfonía de Beethoven
• En tarjetas de crédito, cajetillas de cigarrillos

Ahora veamos tan solo unos ejemplos:

La fronde de los helechos se forma según un patrón Fibonacci

Romanescu (variedad de Brocoli)

Ramas de árboles:

Hojas:

Flores:

Un ejemplo es la forma en que se ordenan los elementos en el girasol,  si cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

Es fácil observar que los números están presentes en la naturaleza y en lo creado por el hombre. En la música, la arquitectura, las formas naturales; no poseen una estructura que responda a un diseño caprichoso, sino que buscan también la eficiencia.

Las estrategias evolutivas favorecidas por las especies, se han basado en la adopción o preferencia de algunas formas funcionales. Ciertas formas son más eficaces que otras para algunas funciones.

La espiral que se repite en moluscos, cuernos de mamíferos y semillas de flores, es la manera más eficaz de agrupar, manteniendo la misma forma a medida que el tamaño aumenta.